Matek, vizuálisan

Tegnap délután támadott be a fiam, hogy ma matekból dolgozatot írnak – és van két olyan feladat típus, melyeknél hiányzott és nem érti, mit is kell csinálni.

1. Skatulyázás

Nem, ez nem az, amire gondolsz. Arról van szó, hogy kis dobozokat, skatulyákat képzelsz el és abba pakolsz mindenféle dolgokat. Aztán az ide-odapakolás után valami kiderül.
Nekem ez új volt. Ha használtam is ilyesmi trükköket problémamegoldás közben, tudatosan biztosan nem. Ugyanígy volt vele Barna is – az egyszerűbb példákat logikával megoldotta, de jött egy olyan feladat, amelybe beletört az agya.

Bizonyítsd be, hogy tetszőleges öt természetes szám esetén ki tudunk választani olyan hármat, melyeknek az összege osztható lesz hárommal.

Hát, izé. Elsőre csak néztem üres tekintettel. Hogyan lesznek ebből dobozok?

Végül lettek. A következő skatulyákat vezettük be:

M0 – M1 – M2

Három doboz, az egyikbe – M0 – azok a számok kerülnek, melyeknél a hárommal való osztás maradéka 0. Az M1 értelemszerűen a maradék1, az M2 a maradék2 doboza.
Vegyünk tetszőleges öt számot. Milyen esetek lehetnek?

A.
Mindegyik dobozba kerül legalább egy szám.
Ilyenkor a legegyszerűbb a helyzet, mindegyik dobozból kiveszünk egy számot, a maradékok összege 3 lesz, azaz a szám osztható lesz hárommal.

B.
Csak az egyik dobozba kerül szám. Könnyen belátható, hogy bármelyik dobozt is pakoljuk tele, a dobozból kivett három maradék összege vagy 0, vagy 3, vagy 6 lesz – azaz az összeg osztható hárommal.

C.
Valamelyik dobozba nem kerül szám, csak a másik kettőbe.
Mivel 5 darab szám van, így akárhogy is pakoljuk kétfelé a számokat, mindenképpen lesz egy olyan doboz, amelyikbe legalább három szám kerül. És ekkor már ugyanott vagyunk, ahol a B. esetben.

Ügyes. Különösen azért tetszett, mert tényleg egy szemléletet tanított a kölyköknek, nem magolandó valamit.

2. Kombinatorika

Habár nekem rengeteg matekot tanítottak anno, a kombinatorika sohasem tartozott a kedvenceim közé. Elsőre olyan semmilyen egyszerű dolognak látszott mindig, aztán egyszer csak történt egy váratlan váltás, és már csak azt vettem észre, hogy egy kukkot sem értek abból, amit magyaráztak.
Márpedig nem szoktam szeretni azokat a dolgokat, melyek frusztrálnak.

Ezek közé tartoznak az ún. betűnégyzetek. Biztos ismered az ilyesmiket: egy táblázat, benne egy csomó betű, a kérdés meg az, hogy hányféleképpen lehet kiolvasni azt a nyomorult szót belőle. Mindig is azt mondtam, hogy nem lehet túlzottan rendben a lelki élete azoknak, akik ilyesmi marhaságokkal töltik az idejüket. Ha neadjisten egyszer, valamikor ilyesmire lenne szükségem az életben, hát legfeljebb megszámolom a lehetőségeket, oszt annyi. Nem reszelem feleslegesen az agyamat.

Igenám, de itt meg a fiam jött, hogy segítsek neki megoldani ezeket a példákat. Természetesen – ugyanúgy, ahogy a skatulyázásnál – ennél a résznél is hiányzott az óráról, így a trükkre nekünk magunknak kellett rájönnünk.

Hát, ahogy Mrozek is írta, ha nagyon muszáj, akkor az ember meg tudja erőltetni magát. Hirtelen megérti az angolt is, meg az állatok beszédét is.

Először nekiálltam képleteket barkácsolni. Eleinte sikerült is hatványozással, faktoriálisokkal jó eredményeket elérnünk, de ahogy bonyolódtak a feladatok, úgy lett egyre reménytelenebb a helyzet.
Végül visszatértünk az alapokhoz. Végiggondoltam, hogyan lehetne a legszemléletesebben felgöngyölíteni egy ilyen útvonal feladatot.
Így.

A feladat ugye az, hogy a bal felső sarokból (zöld betű) kell eljutnunk az összes lehetséges úton a jobb alsó sarokba (piros betű), úgy, hogy csak jobbra illetve lefelé mehetünk. A megoldáshoz bevezetünk egy jelölést: a négyzetbe beírunk egy számot, mely azt jelöli, hogy az adott mezőről hányféleképpen lehet eljutni a végső mezőbe. Az első számot be is írtam: az utolsó mezőbe önkényesen nulla került. (Habár így utólag végiggondolva, az 1 logikusabb lenne. De jelen példában nem lényeges, ezt a sok ábrát meg nincs kedvem újra legyártani.)
Értelemszerűen a végeredmény, a szám, amelyre kiváncsiak vagyunk, az a bal felső mezőbe kerülő szám: hiszen pont az a kérdés, hogy hány út vezet onnan a másik sarokba.

Elindultunk. Innentől mindig kékkel jelölöm majd azt a mezőt, melyet vizsgálunk, pirossal és zölddel pedig azokat a mezőket, amelyek felé továbbléphetünk. Látható, hogy a kék ‘Z’ mezőből csak egyféleképpen lehet eljutni az utolsó kockába, tehát 1 lesz az apró szám.

Hasonló logikával látható, hogy a jobb oldali oszlop bármelyik mezőjéből csak egy út vezet az alsó sarokba, tehát ebben az oszlopban minden mezőbe 1 kerül.

Az alsó sor ugyanez pepitában. Mivel csak jobbra és lefelé lehet haladni, így – gondolom – senkinek sem okozott meglepetést, hogy az alsó, illetve jobb oldali sor végül egyesekkel töltődött fel.

Amikor fel kell göngyölíteni valamit, akkor általában jó, ha hátulról próbálunk elindulni. Itt is ez történik: megpróbáljuk meghatározni a kék ‘Ó’ betűt tartalmazó mező értékét. Elindulhatunk ugye jobbra, a piros ‘Z’ felé, ahol látjuk, hogy arról a mezőről egy út vezet a sarokba. De elindulhatunk lefelé is, a zöld ‘Z’ felé, ahol ugyanúgy 1-est találunk. Azaz innen két út vezet a sarokba, be is biggyesztjük a kettest a rubrikába.

Ugyanezzel a logikával végigmegyünk a középső oszlopon. Vegyük észre, hogy maga az algoritmus pokoli egyszerű: összeadjuk a jobb oldali szomszéd mező értékét az alsó szomszéd mező értékével.

 

Nekiestünk a bal oldali oszlopnak is – és lám, itt állunk a megoldás küszöbén. Már csak a legelső mezőbe írandó szám hiányzik, azaz a feladat megoldása. Ne is húzzuk az időt.

Tehát a jelenlegi táblában 10 különböző útvonal létezik.

Vegyük észre a módszer szépségét. Nem igényli, hogy eltököljünk egy-egy új képlet kikisérletezésével – helyből jó, tetszőlegesen felrajzolt geometriára is. A könyvben az utolsó feladat pl. olyan volt, hogy már diszkrét benzolgyűrűk is voltak az ábra közepén. Ezzel a módszerrel simán átgaloppoztunk rajta. Az se számít, ha megbonyolítják és nem csak két irányba lehet menni. A lényeg, hogy nagyon pontosan határozzuk meg a kezdeti mezők értékeit – és onnan már szép finoman, egymásra építve össze lehet rakni a megoldást.

Külön szépsége a módszernek, hogy ez az egész nekem is új volt. Valószínűleg gyerekkoromban én is hiányoztam arról az óráról, ahol ezt tanulták. Így kénytelen voltam magamtól kivariálni az egészet.

Amennyiben ti nem így tanultátok, remélem, rólam fogják elnevezni a módszert.

4 thoughts on “Matek, vizuálisan

  1. A skatulya elv a 19.századi matematika egyik legszebb eredménye. Először azt hiszem Dirichlet publikálta. Ross Honsbergertől eredeztetve a “kombinatórika legnagyszerűbb fegyvere”. Ha jobban érdekel, akkor angolul a szemléletes pigeonhole principle néven találod.
    A bizonyítása elég egyszerű, csak egy kis absztrakt algebrai ismeret kell hozzá:-). A planetmath. org-on található több info is.
    A másodikhoz csak annyit, hogy az én elemi 5-6-7-8 osztályos tankönyveim elején (1981-84) a matematika szó volt ilyen táblázatokban felírva. Én akkor igy számoltam ki a lehetséges útvonalak számát. Nem teljesen magam jöttem rá, hanem egy felnőtt megsúgta, merre induljak el. Nekem logikusabb volt a bal felső sarokból indulni, de ez tök mindegy. Matematikai értelemben. Meglepő tapasztalatom viszont, hogy egy gyerek számára nem! Gyereke válogatja, melyiket érti meg jobban!

  2. Egy nagy matematikus mondta (E.P.):
    “Ha egy parkban padon ülve egy elhanyagolt külsejű alakot látsz bambán maga elé meredve, akkor az vagy absztrakt algebrával foglalkozik, vagy hót be van rúgva.”
    Az első másként megfogalmazva:
    “2m-1 db egész szám között biztosan van m darab, melyek összege osztható m-mel (m>0 egész).”
    Ez az Erdős-Ginzburg-Ziv tétel (EGZT, mint tudjuk.:D ) egy esete, aholis m=3.
    Az általános bizonyítást biztos megtalálod valahol. Ránézésre is megfuttató.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *